Teoría de la Integración
Programa de: “TEORÍA DE LA INTEGRACIÓN”
“Postítulo de Formación Universitaria en Matemática y Estadística”
1. El número real.
Axiomas de cuerpo. Axiomas de orden. Representación geométrica de los números reales. Cotas superiores e inferiores. Máximo y mínimo. Supremo e ínfimo. Axioma de completitud. Intervalos.
Principio de Arquímedes. Propiedad Arquimediana de los números reales.
Valor absoluto. Propiedades.
2. Funciones. Cardinalidad.
Definición de función. Dominio. Rango. Biyectividad. Función inversa. Sucesiones.
Conjuntos coordinables o equipotentes.
Conjuntos finitos e infinitos. Cardinalidad.
Conjuntos numerables y no numerables. Propiedades.
Familia de conjuntos. Operaciones. Existencia de conjuntos no numerables.
3. Conjuntos abiertos y cerrados de números reales.
Intervalos abiertos y cerrados. Entornos.
Conjuntos abiertos. Puntos de acumulación. Puntos aislados.
Conjuntos cerrados. Propiedades. Clausura. Propiedades de De Morgan.
4. Límite, continuidad y derivada.
Límites de funciones. Unicidad. Propiedades.
Continuidad. Propiedades. Imagen continua de un cerrado y acotado. Máximo y mínimo de una función. Teorema de Weierstrass. Teorema de Bolzano.
Uniforme continuidad. Monotonía. Límites laterales. Discontinuidades.
Límites de sucesiones. Sucesión convergente y divergente. Límites superiores e inferiores. Propiedades.
Derivada. Definición. Propiedades. Relación entre derivabilidad y continuidad.
Teoremas del valor medio. Aplicaciones.
5. Integral de Riemann.
Partición. Suma inferior. Suma superior. Propiedades. Funciones integrables. Condiciones suficientes de integrabilidad. Propiedades de la integral. Función integral. Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal. Cálculo de áreas.
6. Integral de Lebesgue de funciones reales.
Conjuntos medibles. Funciones medibles. Funciones simples. Integral de Lebesgue de funciones simples. Integral de funciones medibles. Integrales impropias. Relación entre integral de Lebesgue e integral de Riemann.
